ルート(根号)の外し方を解説！2つの手順で簡単【具体例付き】

学生

ルート（根号）の外し方がわからない・・・

世間の声

ルート（根号）の計算がよくわからない・・・

本記事では、こんな悩みを解決します。

執筆者

『つちとき』管理人｜元準大手ゼネコン勤務｜土木の現場監督7年｜１級土木施工管理技士｜書籍『仕組み図解 土木工事が一番わかる』著者

『つちとき』管理人｜元準大手ゼネコン勤務｜土木の現場監督7年｜１級土木施工管理技士｜【経験工種類】道路土工事、トンネル、PC上工、橋梁下部工｜書籍『仕組み図解 土木工事が一番わかる』出版

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根号 (ルート)の外し方

学生

根号をどうやって外せばいいんですか?

ぜねた

根号の中の数を因数分解します。 次に指数になる数があれば、それをまとめてルートの外に出します

ルート ( 根号)を外すというのは、根号のない状態で表すこと。

言葉でいうより、 例を見た方がわかりやすいと思います。

例

√25 = √5² = 5
√135=√(3×3×3×5) = 3√15

根号を外す手順は、以下の2つです。

・根号の中の数を因数分解する
・指数になる数があれば、 ルートの外に出す

といった手順になります。

根号の外し方 ① 根号の中の数を因数分解する

ルートの中の数を、 掛け算で表せるカタチに分解 (因数分解)します。

例を交えて解説します。

例

√4=√(2×2)
√25=√(5×5)
√625=√(5×5×5×5)
√125=√(3×5×5)

このようにまずは、ルートの中の数字を分解することが大切です。

根号の外し方 ② 因数分解した数で2乗になっている数を根号の外に出す

ルートの中の数字を分解したら、 次は2乗になっている数があるかどうかを探します。

2乗になっている数があれば、そのまま根号の外に出します。

例

√4=√(2×2)
　=2

√25=√(5×5)
　　=5

√625=√5x5x5x5
　　= 25

これで根号が外れました。

また、ルートの中の数を分解しても、2乗のカタチにならなければ、そのままルートの中に残します｡

例

√125=√(3×5×5)
　　 =5√3

改めて､ 解説すると、 根号というのは、2乗して根号の中の数になるのであれば、 ルートの中の数を減らすことができます。

なので、 根号の中の数が2乗できるのであれば、 根号を外すことができます。

H3 マイナスがある場合

次にマイナスの値のときにどうやって根号を外すのか解説します。

例を見てもらった方が分かりやすいので、 まずは例を交え

例

√(-2)² = √4
　　　=√(2×2)
　　　=2

-√4=-√(2×2)
　  =-2

上の例ですが、2×2は4ですし、(-2)×(-2) も同じ4です。 
つまり、「4の平方根 (2乗したら4になる数)｣ は 「√4」と「一√4」 ということになります。

なので、一つの数の平方根は正の数と負の数の二つがあるという事です。

逆にいうと、2乗してマイナスになる数はありません。

2乗という同じ数をかける計算上、必ずプラスになります。
※正確には実数では2乗してマイナスになる数はありません

例

√-2=√2i
　 ≒1.4142i

2 乗してマイナスになる数字を 「i」 という数字で表し、 虚数といいます。

次に小数点の場合を解説します。

小数点以下の場合

小数点以下の場合も、基本は同じです。

・ルートの中の数を掛け算で表すカタチに分解する
・2乗になる数があれば根号の外に出す

基本は同じです。

例

√0.01=√(0.1×0.1)
　　  = 0.1

√0.05=√(0.1×0.1×5)
　　  = 0.1√5

例を見てわかる通り、ルートの中の数を適切に分解できれば問題はないと思います。

負の数の場合も同様です。

√(-0.05)²=√(0.05) ²
　　　　=√(0.1×0.1×5)
　　　　= 0.1√5

分数の場合

分数の場合も同様です。

例

√4/√25=√(2×2) /√(5×5)
　　　= 2/5

√45/27 = √(3×3)×5 /27
　　　  = 3√5/27
　　　  =√5/9

なお、 分数内に今後のついた数がある場合は、最後に有理化して分母を整数にするのが一般的です。

有理化の例

3/√6 = 3×√6/√6×√6
　　 =3√6/6
　　 = √6/2

と表します。

根号の計算方法! 足し算はルートの外し方を知っている必要あり

若手技術者

ルートが付いた数の計算ってどうやればいいんですか?

ぜねた

根号がついている数の足し算はまずは、ルートの中を計算しましょう

根号 (ルート) がついている数の足し算は、 根号の中の数が同じであれば計算することができます。
そのため、「根号の中の数を小さくする」 「ルートを外す」という手順を行なってから計算します。

手順は大きく2つ。

① 「根号 (ルート) の中の数を小さくする」or「ルートを外す」
② 根号 (ルート) の中の数が同じ数字を足す

この順番で計算します。

今回も例題を交えて解説します。

例

√25+√12+√27+√36

ルートの中の数が違うので、計算できないように見えますが、こちらは計算可能です。

一つ一つ順番に解説していきますね。

根号のついた数の足し算 ① 「ルートを外す」 「根号の中の数を小さくする」

先ほど解説した「根号を外す手順」に従い根号の中の数を小さくします。

① 根号の中の数を因数分解する
② 因数分解した数字で2乗になっている数を根号の外に出す

まずは、この手順を踏んで根号の中の数を小さくします。

例

となります。

先ほどの計算例からすると、

√25+√12+√27+√36 = √(5×5)+ √(3×2×2)+ √(3×3×3)+ √(3×3×2×2)
　　　　　　　　　　　= 5 + 2√3 +3√3×6

となります。

根号のついた数の足し算 ① 根号 (ルート) の中の数が同じ数字を足す

「ルートを外す」 or 「ルートの中の数を小さくする｣ことができたら、 あと一歩です。

同じ根号の中の数をまとめましょう。
あとは、 根号の基本的な足し算と同じです。

先ほどの計算例でいうと、

√25+√12+√27+√36 = √(5×5)+ √(3×2×2)+ √(3×3×3) +√(3×3×2×2)
　　　　　　　　　　　=5 + 2√3 +3√3×6
　　　　　　　　　　　=5√3+11

と計算できます。

根号の外し方 【まとめ】

以上、根号の外し方について例題を交えて解説しました。

ルート（根号）がついた数字の計算方法が理解できたと思います。