平方根の足し算！根号(ルート)の足し算について、わかりやすく解説

学生

ルートの足し算ってどうやるんだっけ?

世間の声

√3+√2っていくつ?

本記事ではこんな悩みにお答えします。

あれ?ルートの計算ってどうやるんだっけ?
ド忘れしちゃうこともありますよね。

ルートの足し算の原則は、ルートの中の数字に注目しましょう。

ルートの中の数が同じであれば、ルートの前の数字同士を足し合わせることができます。

例で示すと、 √2+2√2=3√2です。

逆に、ルートの中の数が

√3+√2

という数字は、そのまま√3+√2となります。

本記事では、ルートの足し算や計算方法について、分数の場合やルートの中の数字が違う場合など、基本的な原則について具体例を交えて詳しく解説します。

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ルートの足し算は? 【√の中の数が同じなら計算可能】

若手技術者

ルートが付いた数字の計算ってどうやるんですか?

ぜねた

√の中の数が同じであれば、計算可能です

ルートの足し算は、√の中の数が重要な要素です。
ルートの中の数が同じ場合、 違う場合では計算が変わります。

ルートの中の数が同じ場合

√2+2√2=3√2：計算可能

ルートの中の数が違う場合

√2+4√3：これ以上計算できない

ここで、ルートの意味について今一度確認すると、 ルートというのは“平方根”を表す記号で根号(こんごう) といい、「√a」 と言う数字は 「2乗するaになる数」を意味しています。

例を示すと、

√4=2、 √25=5

です。

2乗して4になる数は「2」ですし、 2乗して25になる数は「5」です。

ぜねた

基本的には、2乗して整数になる数というのは”ルートを外す”ことができます

逆に、2乗しても整数にならない数では、ルートを外すことができません。

例えば、2乗して5になる 5という値は､ 整数では表すことができないので、 ルートの記号をつけたまま表します。

ルートの中の数が同じ場合の足し算

ルートの中の数が同じ場合は、ルートの外側の数字を足す

まずは、ルートの中の数が同じ場合の足し算について解説します。

例

2√3+3√3=5√3

ルートの中の数が同じ場合、 ルートの数の前の数字を足し合わせます。

例題の場合、 ルートの中の数が3で同じ数であるため、ルートの前の数字である2と3を足すことから、
2+3=5となり、5√3が答えとなります。

なぜかというと、

2√3とは、3が2つあるという意味で、3√3というのは､3が3つある意味になります。

なので、2√3+3√3というのは、√3が2つある値と、√3が3つある値を足すということです。

ぜねた

ルートの外側にある2a+3a (aは定数を示すもの)と同じ計算を行います

ルートの中の数が同じ場合、 ルートの付いた数は気にせじ、 ルートの外についた数に着目して足し合わせましょう。

ルートの中の数が違う場合の足し算とは? 【計算できません】

学生

ルートの中の数が違う場合はどうやって計算するんですか?

ぜねた

ルートの中の数が違う場合は、基本的に計算できません

ルートの中の数が違う場合は、 数値をまとめてそれ以上計算することはできません｡

例

√2+√3

という数字は、そのまま√2+√3です。

注意: 普通の足し算と同様に2+3=5と計算できない

間違いの例

√2+√3= √5

と言う計算は、間違いです。

ルートの中の数が異なるときの計算例（√2+√3= √5が間違いな理由）

ルートの中の数が異なる場合、計算できない理由を『√2+√3≠√5』を具体例として解説します。

√2や√3という数を根号を使って表した数ではなく、小数3位で示すと以下のようになります。

√2≒1.414
√3 ≒1.732

です。

つまり,

√2+√3≒ 1.414+1.732
= 3.146

となります。

そのため、

√5≒2.236

となることから、

√2+√3≒3.146
√5≒2.236

となるので、

√2+√3≠√5

となることが分かります。

ルートの中の数が違う場合のまとめ方

なお、一見ルートの中の数が違う場合でも、根号を外す (根号内で数を取りまとめる)ことで、計算が可能になる場合があります。

根号を外す例

√8=√4×2=2√2
√12=√4×3=2√3

なので、

√8+√2 の場合、 ルート内の数が異なることから、計算できないように見えます。

しかし、8は2√2 と表すことができるので、

√8+√2= 2√2+√2
　　　　=3√2

数字が異なる場合でも根号の中の数を分解して、掛け算の形に表すことで計算ができるようになります。

まずは、根号の中の数を分解できないか考えてみましょう。

ルートに分数が含まれる場合の足し算例 【具体例付き】

学生

分数にルートが含まれる場合、 どうやって計算すればいいんですか?

ぜねた

普通の分数の計算のように、 分母の数を統一すれば大丈夫です

ルートの付いた分数の足し算も、難しく考える必要はありません。

通常の分数の足し算と同じで、 分母を揃えてから分子を計算するだけです。

例を交えて解説します。

例

1/√2 + 1/√2 = 2/√2

分母が違う場合も、 通常の分数の計算と同じです。

例

1/√2 +1/√6 = (1x√3)/(√2×√3)
　　　　　　 = (√3/√6 )+ (1/√6)
＝(√3+1)/√6

です。

ルートの中の数が違う場合は、 通常の分数の足し算とまったく同じです。
最小公倍数を見つけて、分母、分子ともに同じ数字をかけて分母として計算します。

分子の計算は今までのルートの計算と同じです。

√2/√3 + 1/√6 =(√2x√2)/(√2x√3) + 1/√6
　　　　　　＝2/√6 + 1/√6
　　　　　　＝(2+1)/√6
　　　　　　＝3/√6

ただし分母にルートの付く数がある場合、 有理化 (ゆうりか)を行い、より簡単な形で表します。

有利化: 分母を無理数から有理数に変換する計算

有利化の例

3/6=3√6-√6×56
　＝3√6/6
　 = √6/2

と表します。

根号(ルート)の足し算【まとめ】

以上、根号(ルート)の足し算について解説しました。